Ciencia y Educación
(L-ISSN: 2790-8402 E-ISSN: 2707-3378)
Vol. 7 No. 9.1
Edición Especial IX 2026
Página 24
INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA AERODINÁMICA EN EL MOVIMIENTO DE
PROYECTILES: ALCANCE, ALTURA Y TIEMPO DE VUELO
INFLUENCE OF AERODYNAMIC DRAG ON PROJECTILE MOTION: RANGE,
MAXIMUM HEIGHT, AND FLIGHT TIME
Autores: ¹Manuel Macario Castro Briones, ²Carlos Luis Gusqui Guananga y ³Joselyn Alexandra
Miranda Masaquiza.
¹ORCID ID: https://orcid.org/0009-0008-2936-9465
²ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-5449-5967
3
ORCID ID: https://orcid.org/0009-0000-0424-4385
¹E-mail de contacto: mcastro11@unemi.edu.ec
²E-mail de contacto: gusquicarlos@gmail.com
³E-mail de contacto: alexa.miranda96@outlook.es
Afiliación: ¹*Universidad Estatal de Milagro, (Ecuador). ²*Autor independiente, (Ecuador). ³*Dirección Distrital 06D03 Cumandá
Pallatanga Educación, (Ecuador).
Artículo recibido: 19 de Agosto del 2026.
Artículo revisado: 21 de Agosto del 2026.
Artículo aprobado: 21 de Agosto del 2026.
¹Ingeniero Civil, graduado de la Universidad Estatal del Sur de Manabí, (Ecuador).
²Ingeniero Mecánico, graduado de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, (Ecuador). Magíster en Física, graduado de la Escuela
Superior Politécnica de Chimborazo, (Ecuador).
³Biofísica, graduado de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, (Ecuador). Magíster en Matemática mención Modelación y
Docencia, graduado de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, (Ecuador). Magíster en Educación con mención en Docencia e
Investigación en Educación Superior de la Universidad Estatal de Milagro Chimborazo, (Ecuador).
Resumen
El objetivo de este estudio fue analizar
cuantitativamente la influencia de la resistencia
aerodinámica cuadrática sobre el movimiento
bidimensional de proyectiles, comparando el
alcance horizontal, la altura máxima, el tiempo
de vuelo y el ángulo de lanzamiento que
maximiza el alcance con los valores del modelo
ideal. Se desarrolló un estudio computacional
factorial con cuatro velocidades iniciales de 10,
20, 30 y 40 metros por segundo, cinco ángulos
de lanzamiento entre 15 y 75 grados y cuatro
niveles de resistencia aerodinámica. Las
ecuaciones diferenciales no lineales se
resolvieron mediante el método de Runge-Kutta
de cuarto orden, y el procedimiento se validó
frente a las soluciones analíticas del
movimiento sin resistencia. Se ejecutaron 80
condiciones principales y una búsqueda
numérica adicional del ángulo óptimo. Los
resultados mostraron que el alcance fue la
variable más sensible al arrastre, seguido por la
altura máxima y el tiempo de vuelo. Para la
mayor resistencia analizada, la reducción media
del alcance aumentó de 7,47 % a 51,87 % al
incrementar la velocidad inicial de 10 a 40
metros por segundo. La reducción máxima del
alcance fue 58,09 %, mientras que el ángulo
óptimo disminuyó desde 45 grados hasta 38,861
grados. Se concluye que la resistencia
aerodinámica modifica de forma no uniforme
las variables del movimiento y que sus efectos
aumentan con la velocidad inicial y la
intensidad del arrastre.
Palabras clave: Resistencia aerodinámica,
Movimiento de proyectiles, Alcance
horizontal, Altura máxima, Tiempo de vuelo,
Simulación numérica.
Abstract
The objective of this study was to quantitatively
analyze the influence of quadratic aerodynamic
drag on two-dimensional projectile motion by
comparing horizontal range, maximum height,
flight time, and the launch angle that maximizes
range with the corresponding values from the
ideal model. A factorial computational study
was developed using four initial velocities of
10, 20, 30, and 40 meters per second, five
launch angles between 15 and 75 degrees, and
four levels of aerodynamic drag. The nonlinear
differential equations were solved using the
fourth-order Runge-Kutta method, and the
procedure was validated against the analytical
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solutions for motion without drag. Eighty main
conditions were simulated, together with an
additional numerical search for the optimal
launch angle. The results showed that range was
the variable most sensitive to drag, followed by
maximum height and flight time. For the
highest drag level analyzed, the mean reduction
in range increased from 7.47% to 51.87% as
initial velocity increased from 10 to 40 meters
per second. The maximum range reduction was
58.09%, while the optimal launch angle
decreased from 45 degrees to 38.861 degrees. It
is concluded that aerodynamic drag modifies
projectile-motion variables nonuniformly and
that its effects become increasingly important as
initial velocity and drag intensity increase.
Keywords: Aerodynamic drag, Projectile
motion, Horizontal range, Maximum height,
Flight time, Numerical simulation.
Sumário
O objetivo deste estudo foi analisar
quantitativamente a influência da resistência
aerodinâmica quadrática sobre o movimento
bidimensional de projéteis, comparando o
alcance horizontal, a altura máxima, o tempo de
voo e o ângulo de lançamento que maximiza o
alcance com os valores correspondentes do
modelo ideal. Desenvolveu-se um estudo
computacional fatorial com quatro velocidades
iniciais de 10, 20, 30 e 40 metros por segundo,
cinco ângulos de lançamento entre 15 e 75 graus
e quatro níveis de resistência aerodinâmica. As
equações diferenciais não lineares foram
resolvidas pelo método de Runge-Kutta de
quarta ordem, e o procedimento foi validado
mediante comparação com as soluções
analíticas do movimento sem resistência. Foram
simuladas 80 condições principais e realizada
uma busca numérica adicional do ângulo ótimo.
Os resultados mostraram que o alcance foi a
variável mais sensível ao arrasto, seguido pela
altura máxima e pelo tempo de voo. Para o
maior nível de resistência analisado, a redução
média do alcance aumentou de 7,47% para
51,87% quando a velocidade inicial aumentou
de 10 para 40 metros por segundo. A redução
máxima do alcance foi de 58,09%, enquanto o
ângulo ótimo diminuiu de 45 graus para 38,861
graus. Conclui-se que a resistência
aerodinâmica modifica de forma não uniforme
as variáveis do movimento e que seus efeitos
aumentam com a velocidade inicial e a
intensidade do arrasto.
Palavras-chave: Arrasto aerodinâmico,
Movimento de projéteis, Alcance horizontal,
Altura máxima, Tempo de voo, Simulação
numérica.
Introducción
El movimiento de proyectiles constituye uno de
los problemas clásicos de la mecánica y
mantiene interés tanto por su valor formativo
como por sus aplicaciones en ingeniería,
tecnología y deportes. En su formulación ideal,
el cuerpo se considera sometido únicamente a
una aceleración gravitatoria uniforme; la
componente horizontal de la velocidad
permanece constante, la componente vertical
cambia linealmente con el tiempo y la
trayectoria resultante es parabólica. Bajo estas
condiciones, el alcance horizontal, la altura
máxima y el tiempo de vuelo se obtienen
mediante expresiones analíticas directas. Esta
simplificación es útil para establecer relaciones
fundamentales entre velocidad, ángulo y
desplazamiento, pero deja de representar
adecuadamente muchas situaciones reales
cuando la interacción con el aire no puede
despreciarse (Parker, 1977; Kantrowitz y
Neumann, 2020).
La resistencia aerodinámica actúa en sentido
opuesto a la velocidad relativa del cuerpo y su
magnitud depende del régimen de flujo, de las
propiedades del fluido y de las características
geométricas y dinámicas del proyectil. Para
números de Reynolds muy bajos, una
dependencia aproximadamente lineal con la
velocidad puede resultar apropiada; en
numerosos movimientos de cuerpos
macroscópicos en aire, en cambio, la
representación cuadrática adquiere mayor
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pertinencia (Long & Weiss, 1999; Lubarda y
Lubarda, 2022). Esta distinción no es solamente
formal: la elección de la ley de arrastre cambia
las ecuaciones de movimiento, las trayectorias
y la posibilidad de obtener soluciones analíticas.
Cuando se considera arrastre cuadrático, las
componentes horizontal y vertical quedan
acopladas a través de la magnitud instantánea de
la velocidad. Como consecuencia, el problema
bidimensional se expresa mediante ecuaciones
diferenciales no lineales para las cuales no
existe, en general, una solución explícita simple
en función del tiempo. Diferentes trabajos han
desarrollado soluciones implícitas,
aproximaciones analíticas, expansiones y
métodos numéricos para describir el
movimiento (Hayen, 2003, Das y Roy, 2014;
Corvo, 2022). Bradshaw (2023) mostró que las
ecuaciones correspondientes a las componentes
de velocidad pueden desacoplarse al
reformularlas respecto del ángulo instantáneo
de la velocidad, aunque las relaciones de
posición y tiempo continúan requiriendo
integración. Duan et al. (2023), por su parte,
compararon soluciones analíticas por tramos
con soluciones numéricas de orden superior y
demostraron la utilidad de estrategias
computacionales para controlar los errores en
trayectorias sometidas a arrastre cuadrático.
Los desarrollos recientes confirman que el
problema continúa activo y admite distintas
aproximaciones. Lubarda y Lubarda (2022)
revisaron el movimiento de proyectiles bajo
arrastre lineal y no lineal, incluyendo la
influencia del viento. Chudinov et al. (2023)
propusieron aproximaciones analíticas para el
movimiento con resistencia cuadrática y viento
horizontal constante, y obtuvieron
concordancia con soluciones numéricas.
Rosales (2024) estudió trayectorias con arrastre
turbulento mediante técnicas exactas,
asintóticas y numéricas, mientras que Asad et
al. (2025) aplicaron un método de
transformación diferencial multietapa al cálculo
de altura, alcance y tiempo de vuelo. Más
recientemente Jobunga (2026) analizó una
formulación que combina contribuciones
lineales y cuadráticas y destacó que el término
cuadrático adquiere predominio a velocidades
elevadas.
Además de resolver las ecuaciones, resulta
relevante cuantificar cómo cambia cada
variable cinemática al abandonar el modelo
ideal. La resistencia no tiene por qué afectar en
igual proporción al alcance, la altura máxima y
el tiempo de vuelo. La componente horizontal
de la velocidad disminuye de manera continua
durante todo el movimiento, mientras que la
componente vertical presenta una dinámica
distinta entre ascenso y descenso porque el
arrastre cambia de sentido respecto de la
gravedad. Esta asimetría puede producir
pérdidas relativas diferentes entre las variables.
Yıldırım (2025) mostró que el análisis de
promedios de tiempo de vuelo, alcance y altura
bajo arrastre lineal y cuadrático permite
caracterizar de forma comparativa la respuesta
del movimiento, mientras que estudios con
resistencia lineal han evidenciado igualmente
cambios sistemáticos en la geometría de las
trayectorias y en sus máximos (Morales et al.,
2023; Jobunga et al., 2024).
El ángulo que maximiza el alcance constituye
otra magnitud de interés. En el modelo ideal,
cuando la altura inicial y final coinciden, el
máximo se obtiene a 45°. Con resistencia, esta
propiedad deja de ser universal. Los análisis
clásicos de Hayen (2003) establecieron
condiciones para determinar el alcance máximo
y el ángulo óptimo en presencia de arrastre
cuadrático, y trabajos anteriores sobre
aplicaciones deportivas mostraron que el
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equilibrio entre arrastre, sustentación y
condiciones iniciales puede desplazar de
manera importante el ángulo de mayor alcance
(Erlichson, 1983). A pesar de la extensa
literatura sobre soluciones matemáticas y
aplicaciones particulares, resulta útil disponer
de una comparación sistemática en la que la
intensidad de la resistencia se modifique de
manera controlada y se evalúen
simultáneamente tres variables cinemáticas de
interpretación directa. Una parametrización
basada en la relación entre densidad del fluido,
coeficiente de arrastre, área frontal y masa
permite estudiar distintos niveles de
susceptibilidad aerodinámica sin restringir el
análisis a una pelota, esfera o proyectil
concreto. De esta forma, puede examinarse
cómo interactúan velocidad inicial, ángulo de
lanzamiento e intensidad del arrastre y,
adicionalmente, cómo se desplaza el ángulo que
produce el máximo alcance.
Por lo anterior, el objetivo de este estudio fue
analizar cuantitativamente la influencia de la
resistencia aerodinámica cuadrática sobre el
movimiento bidimensional de proyectiles
mediante la comparación del alcance
horizontal, la altura máxima y el tiempo de
vuelo con los valores correspondientes al
modelo ideal, considerando diferentes
velocidades iniciales, ángulos de lanzamiento e
intensidades de arrastre. Adicionalmente, se
determinó la variación del ángulo de
lanzamiento que maximiza el alcance.
Materiales y Métodos
Se desarrolló un estudio cuantitativo de carácter
computacional. Se compararon dos
condiciones: un modelo ideal sometido
únicamente a gravedad y un modelo no ideal
con resistencia aerodinámica proporcional al
cuadrado de la rapidez. Se consideró
movimiento bidimensional en un sistema
cartesiano, con lanzamiento desde el origen y
retorno al mismo nivel vertical. Se adoptó una
aceleración gravitatoria constante de 9,81 m/s².
Para aislar el efecto del arrastre, no se
incorporaron viento, rotación del proyectil,
fuerza de Magnus, cambios de densidad
atmosférica ni variaciones de la aceleración
gravitatoria durante el vuelo.
En ausencia de resistencia, las coordenadas se
expresaron como:
Para una altura inicial igual a la altura final, el
alcance horizontal, la altura máxima y el tiempo
de vuelo se calcularon mediante:
Estos valores se utilizaron como referencia para
cuantificar el efecto del arrastre y para validar
el procedimiento numérico.
La fuerza resistente se representó mediante:
Aquí, corresponde a la densidad del fluido,
al coeficiente de arrastre, al área frontal, a
la rapidez instantánea y al vector unitario en
la dirección de la velocidad. La formulación
cuadrática es consistente con el tratamiento de
cuerpos macroscópicos en regímenes en los que
el arrastre inercial adquiere mayor importancia
(Long y Weiss, 1999; Lubarda y Lubarda, 2022;
Bradshaw, 2023). Para analizar diferentes
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intensidades de resistencia sin restringir los
resultados a un objeto particular, se definió el
parámetro aerodinámico específico:
con unidades de m⁻¹, donde es la masa del
proyectil. Las ecuaciones de movimiento
quedaron definidas por:
con condiciones iniciales:
La estructura no lineal y acoplada de estas
ecuaciones es característica del arrastre
cuadrático bidimensional y justifica su solución
numérica (Hayen, 2003a; Bradshaw, 2023;
Duan et al., 2023). Se combinaron cuatro
velocidades iniciales, cinco ángulos de
lanzamiento y cuatro valores del parámetro
aerodinámico. El diseño produjo 80
condiciones principales de simulación.
Tabla 1. Condiciones utilizadas en las
simulaciones.
Parámetro
Valores
Velocidad inicial,
10, 20, 30 y 40 m/s
Ángulo de lanzamiento,
15°, 30°, 45°, 60° y 75°
Parámetro aerodinámico,
0; 0,004; 0,008 y 0,012 m⁻¹
Aceleración gravitatoria
9,81 m/s²
Altura inicial y final
0 m
Paso temporal
0,002 s
Condiciones principales
80
Fuente: Elaboración propia.
El valor representó el movimiento ideal.
Los valores positivos describieron intensidades
progresivamente mayores de arrastre. La
comparación se realizó mediante una
parametrización general y no mediante la
asignación de propiedades a un único objeto, de
modo que los resultados representan diferentes
relaciones posibles entre masa, área frontal,
coeficiente de arrastre y densidad del aire.
El sistema se resolvió mediante el método de
Runge de cuarto orden con un paso temporal de
0,002 s. En cada iteración se actualizaron
posición, componentes de velocidad y rapidez.
La integración continuó hasta detectar el cruce
de durante la fase descendente; el alcance
y el tiempo de impacto se estimaron mediante
interpolación entre los dos pasos temporales
que delimitaban el cruce. La altura máxima
correspondió al mayor valor vertical alcanzado
durante la integración.
La exactitud del procedimiento se comprobó
ejecutando las condiciones con y
comparando los resultados numéricos con las
ecuaciones (3), (4) y (5). El error relativo
máximo fue de 0,000201 % para el alcance,
0,000124 % para la altura máxima y 0,000201
% para el tiempo de vuelo. Estos valores se
consideraron suficientemente pequeños
respecto de las diferencias producidas por la
resistencia aerodinámica. Para cada condición
con arrastre se calcularon las reducciones
relativas:
Donde
,
y
corresponden al alcance, la
altura máxima y el tiempo de vuelo bajo
resistencia aerodinámica. Finalmente, para cada
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combinación de velocidad inicial y se
determinó el ángulo que maximiza el alcance
mediante una búsqueda numérica acotada entre
1° y 89°, con criterio de convergencia. Los
resultados del ángulo óptimo se reportaron a
tres decimales.
Resultados y Discusión
La incorporación de resistencia aerodinámica
produjo reducciones sistemáticas del alcance, la
altura máxima y el tiempo de vuelo, además de
una pérdida de la simetría característica de la
parábola ideal. En la condición representativa
de
m/s y , el modelo sin
resistencia produjo un alcance de 91,7431 m,
una altura máxima de 22,9358 m y un tiempo de
vuelo de 4,3248 s. Al aumentar a 0,004; 0,008
y 0,012 m⁻¹, el alcance disminuyó a 72,0728;
60,1792 y 52,0712 m, respectivamente. Para el
mayor nivel de arrastre en esta condición, las
reducciones fueron 43,24 % en alcance, 28,63
% en altura máxima y 15,86 % en tiempo de
vuelo.
Figura 1. Trayectorias para diferentes niveles
de resistencia aerodinámica con
m/s y
.
Fuente: Elaboración propia.
La Figura 1 evidencia que el arrastre no actúa
como una simple reducción uniforme de escala.
La componente horizontal de la velocidad
disminuye continuamente y la rama
descendente se vuelve más pronunciada, de
modo que la trayectoria deja de conservar la
simetría del modelo ideal. Esta modificación
concuerda con la estructura no lineal descrita
para el problema cuadrático por Parker (1977),
Hayen (2003) y Bradshaw (2023). También es
coherente con las soluciones numéricas y
aproximadas presentadas por Chudinov et
al. (2023) y Duan et al. (2023), en las que la
resistencia altera simultáneamente posición,
velocidad y duración del movimiento.
Las reducciones promedio calculadas para los
cinco ángulos aumentaron claramente con la
velocidad inicial. Para m⁻¹, la
disminución media del alcance pasó de 7,47 %
a 10 m/s a 51,87 % a 40 m/s. En el mismo
intervalo, la reducción media de la altura
máxima aumentó de 4,30 % a 36,80 %, mientras
que la del tiempo de vuelo pasó de 2,18 % a
21,02 %.
Tabla 2. Reducción media respecto del modelo
ideal para m⁻¹.
v₀ (m/s)
Alcance (%)
Altura (%)
Tiempo (%)
10
7,47
4,30
2,18
20
23,43
14,48
7,63
30
39,23
26,12
14,34
40
51,87
36,80
21,02
Fuente: Elaboración propia.
Figura 2. Reducción media del alcance, la
altura máxima y el tiempo de vuelo para
m⁻¹.
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En todas las velocidades se observó la misma
jerarquía de sensibilidad relativa: alcance,
altura máxima y tiempo de vuelo. La mayor
afectación del alcance puede atribuirse a que el
arrastre reduce la componente horizontal
durante toda la trayectoria.
En el modelo ideal,
permanece constante;
con resistencia cuadrática, en cambio, su
disminución acumulativa limita cada vez más el
desplazamiento horizontal. En la dirección
vertical, el arrastre se suma a la gravedad
durante el ascenso y se opone a ella durante el
descenso, por lo que parte de su efecto sobre la
duración total se compensa. Esta diferencia de
mecanismos explica que el tiempo de vuelo
presente reducciones proporcionales menores
que el alcance y la altura.
El crecimiento del efecto con la velocidad
inicial responde directamente a la dependencia
cuadrática del arrastre. Al aumentar la rapidez,
la fuerza resistente crece de forma más intensa
y la desviación respecto del modelo ideal se
amplifica. Este patrón es consistente con la
revisión de Lubarda y Lubarda (2022) y con el
análisis de Bradshaw (2023), que destacan la
relevancia del modelo cuadrático a mayores
números de Reynolds. También coincide con la
formulación reciente de Jobunga (2026), en la
que los efectos cuadráticos pasan a dominar
frente a las contribuciones lineales cuando la
velocidad aumenta.
Dentro de las 80 condiciones principales, la
mayor reducción del alcance fue de 58,09 %,
registrada para
m/s, y
m⁻¹. La máxima disminución de la altura
alcanzó 44,32 %, mientras que la mayor
reducción del tiempo de vuelo fue 25,31 %;
ambas se obtuvieron para
m/s,
y el mismo valor de . El hecho de que los
máximos efectos no ocurran en el mismo ángulo
confirma que las tres variables responden de
manera diferenciada a la geometría del
lanzamiento. Yıldırım (2025) ha señalado
igualmente que alcance, altura y tiempo
constituyen medidas complementarias del
efecto del arrastre y no deben interpretarse
como respuestas equivalentes. En el modelo
ideal, la búsqueda numérica reprodujo un
ángulo de 45° para las cuatro velocidades
iniciales. La presencia de resistencia desplazó el
máximo hacia ángulos menores, y el cambio
aumentó simultáneamente con la velocidad
inicial y con .
Tabla 3. Ángulo de lanzamiento que maximiza
el alcance.
v₀ (m/s)
k = 0
k = 0,004
k = 0,008
k = 0,012
10
45,000°
44,780°
44,521°
44,322°
20
45,000°
44,104°
43,324°
42,649°
30
45,000°
43,142°
41,781°
40,701°
40
45,000°
42,053°
40,189°
38,861°
Fuente: Elaboración propia.
Figura 3. Variación del ángulo de máximo
alcance con la velocidad inicial y la resistencia
aerodinámica.
Fuente: Elaboración propia.
Para 10 m/s y m⁻¹, el ángulo óptimo
fue 44,322°, solo 0,678° por debajo del valor
ideal. Para 40 m/s y el mismo nivel de
resistencia, disminuyó a 38,861°, lo que
corresponde a un desplazamiento de 6,139°. La
tendencia confirma que la regla de 45° es una
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propiedad del modelo sin disipación y no una
condición general para el movimiento en aire.
Hayen (2003a, 2003b) demostró que el máximo
alcance bajo resistencia cuadrática requiere una
condición de optimización dependiente del
arrastre; los resultados obtenidos muestran
cuantitativamente cómo esa condición cambia
dentro del intervalo de velocidades y
parámetros analizado.
Un lanzamiento con mayor ángulo aumenta la
duración durante la cual el proyectil permanece
expuesto al arrastre y reduce progresivamente
su velocidad horizontal. Con resistencia
suficientemente intensa, un ángulo algo menor
conserva una componente horizontal inicial
mayor y evita parte de la pérdida acumulada
asociada con un vuelo prolongado.
Figura 4. Reducción del alcance según el
ángulo de lanzamiento para
m/s.
Fuente: Elaboración propia.
El desplazamiento observado es compatible con
la idea de que la optimización del alcance
depende de la interacción entre condiciones
iniciales y fuerzas aerodinámicas, como se ha
mostrado tanto en análisis generales como en
aplicaciones con arrastre y sustentación
(Erlichson, 1983; Hayen, 2003a). La pérdida de
alcance también dependió del ángulo de
lanzamiento. Para la velocidad inicial de 40 m/s,
el aumento de incrementó la reducción del
alcance en todos los ángulos analizados, pero la
respuesta no fue constante entre 15° y 75°.BLa
máxima reducción relativa del alcance no se
obtuvo a 45°, sino a 60° en la combinación de
mayor velocidad y arrastre. Este resultado
refleja la interacción entre el tiempo de
exposición a la resistencia y la pérdida de
velocidad horizontal.
Los lanzamientos muy bajos tienen menor
duración, mientras que los de gran elevación
destinan una proporción mayor de la velocidad
inicial al movimiento vertical y producen
alcances ideales menores. En el intervalo
intermedio, la combinación de duración y
desplazamiento horizontal puede generar la
mayor diferencia relativa respecto del modelo
sin resistencia. Esta respuesta dependiente del
ángulo coincide con la complejidad descrita en
las aproximaciones analíticas de Corvo (2022)
y con la necesidad de considerar conjuntamente
las condiciones iniciales y la intensidad de la
resistencia señalada por Asad et al. (2025).
La parametrización mediante permite
interpretar estos resultados sin vincularlos a un
único objeto. Un mismo valor puede representar
diferentes combinaciones de densidad del aire,
coeficiente de arrastre, área frontal y masa. Por
ello, los resultados son apropiados para
identificar patrones generales, aunque no
constituyen predicciones directas para una
pelota o proyectil específico si no se conocen
sus propiedades aerodinámicas. Asimismo, el
modelo supone
constante y excluye viento,
rotación, fuerza de Magnus, variaciones de
densidad y diferencias entre altura inicial y
final. Estas simplificaciones fueron deliberadas
para aislar el arrastre cuadrático. La
incorporación de viento, por ejemplo, puede
modificar adicionalmente las coordenadas y el
tiempo de vuelo (Chudinov et al., 2023),
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mientras que modelos más generales pueden
requerir contribuciones lineales y cuadráticas
simultáneas (Jobunga, 2026). Los resultados
muestran que sustituir el modelo ideal por una
formulación con arrastre cuadrático no equivale
a aplicar una corrección porcentual fija. La
desviación depende de la velocidad inicial, del
ángulo, del parámetro aerodinámico y de la
magnitud cinemática considerada. En
condiciones de baja velocidad y pequeño , el
modelo ideal conserva una aproximación
relativamente cercana; conforme aumenta la
intensidad aerodinámica, las diferencias se
vuelven suficientemente grandes para alterar
tanto las magnitudes de la trayectoria como la
condición de máximo alcance.
Conclusiones
Se concluye que la resistencia aerodinámica
cuadrática modifica de manera diferenciada el
alcance horizontal, la altura máxima y el tiempo
de vuelo. En todas las velocidades estudiadas,
el alcance presentó la mayor sensibilidad
relativa al arrastre, seguido por la altura máxima
y el tiempo de vuelo. Para m⁻¹, la
reducción media del alcance aumentó desde
7,47 % a 10 m/s hasta 51,87 % a 40 m/s, lo que
evidencia la creciente importancia de la
interacción aerodinámica al aumentar la
velocidad inicial.
La máxima pérdida de alcance dentro de las 80
condiciones principales fue de 58,09 %,
mientras que las reducciones máximas de altura
y tiempo alcanzaron 44,32 % y 25,31 %,
respectivamente. Estos máximos se produjeron
en ángulos diferentes, por lo que no resulta
adecuado representar la influencia del aire
mediante una única corrección aplicable a todas
las variables del movimiento. La respuesta
depende simultáneamente de la velocidad
inicial, del ángulo de lanzamiento y de la
intensidad del arrastre. También se determinó
que el ángulo de máximo alcance deja de ser 45°
cuando se incorpora resistencia. El menor valor
obtenido fue 38,861° para 40 m/s y
m⁻¹, equivalente a un desplazamiento de 6,139°
respecto del modelo ideal. Se establece así que
el arrastre modifica no solo la magnitud del
desplazamiento, sino también las condiciones
iniciales que optimizan el alcance.
La parametrización general mediante permite
extender la interpretación a diferentes
relaciones entre masa, área frontal, coeficiente
de arrastre y densidad del fluido. Sin embargo,
la aplicación a un objeto específico requiere
conocer esas propiedades y considerar, cuando
corresponda, efectos adicionales como
variaciones del coeficiente de arrastre, viento,
rotación o sustentación. Dentro de los supuestos
adoptados, el análisis confirma que el modelo
parabólico ideal es útil cuando la interacción
aerodinámica es pequeña, pero puede producir
desviaciones importantes al aumentar la
velocidad o la susceptibilidad del proyectil al
arrastre.
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